ファインマン物理学Ⅳ第４章 電磁気学の相対論的記述（本文）

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第４章　電磁気学の相対論的記述（本文）

4-1　４元ベクトル

４元ベクトルは，運動する座標系に移るときに$t, x, y, z$と同様に変換される$4$
個の量$a_t, a_x, a_y, a_z$によって定義されるものとする.

すでに我々はエネルギーと運動量からなる４元
ベクトルに出会っている.

4-2　スカラー積

３次元の$r^2=x^2+y^2+z^2$に類似の量は
$t^2-x^2-y^2-z^2$である.
これは完全ローレンツ群と呼ばれる変換に対して不変である.
この変換は等速度と回転の両方の変換を意味している.

高エネルギーの陽子が静止している陽子に衝突し，もしも入射陽子のエネルギーが十分高ければ
始めの２個の陽子に加えて一組の陽子・反陽子対が生じることがある.

そのために必要な最低のエネルギーを以下の方法で計算した.

最初の状態の入射陽子と静止陽子の運動量４元ベクトルの和
は最終状態の運動量４元ベクトルと等しい.

最初の状態については実験室系で
最終状態については重心系で
４元ベクトル運動量の$2$乗を計算する.
任意の粒子の４元ベクトル運動量の"長さ"の$2$乗は質量の$2$乗に等しいこと
を用いて計算すると入射粒子のエネルギーは$E^a=7M, M=983MeV$となった.




4-3　４次元の勾配

４次元の勾配演算子は
\[
\bigtriangledown _{\mu }=\left( \frac{\partial }{\partial t}, -\nabla \right)=\left( \frac{\partial }{\partial t}, -\frac{\partial }{\partial x}, -\frac{\partial }{\partial y}, -\frac{\partial }{\partial z} \right)
\]
で定義する.


電荷密度$\rho $
と電流密度$\mathbf{j}$
とは
４元ベクトル$j_{\mu}=(\rho, \mathbf{j})$
を作ることを知っている.
電荷の保存の法則は
\[
\bigtriangledown _{\mu}j_{\mu}=0
\]
と書ける.

ダランベール演算子は
\[
\square ^2=\bigtriangledown _{\mu}\bigtriangledown _{\mu}
\]
で定義される.

4-4　４次元記号で書いた電気力学

\[
A_{\mu}=(\phi, \mathbf{A})
\]
とおくとマクスウェル方程式より
\[
\square ^2A_{\mu}=\frac{j_{\mu}}{\epsilon_0}
\]
となる.

ゲージの条件
は
\[
\bigtriangledown _{\mu}A_{\mu}=0
\]
となる.
これはローレンツの条件と呼ばれている.

4-5　動く電荷による４元ポテンシャル

速さ$v$で$x$軸に沿って動く電荷について
電荷と同じ速度で動く座標系でポテンシャルを計算し，
静止系でのポテンシャルに変換することにより
ポテンシャルを求めた.

4-6　電気力学の方程式の不変性

マクスウェル方程式が美しい形にかけたのは
マクスウェル方程式がローレンツ変換に対して不変だからである.