ファインマン物理学Ⅳ第４章 第４章 電磁気学の相対論的記述（問題）

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第４章　電磁気学の相対論的記述（問題）

4-1

$A_{\mu }=(\phi, \mathbf{A})$,
$j_{\mu}=(\rho , \mathbf{j})$
より
\[
\phi ^2-\mathbf{A}^2=A_{\mu}A_{\mu},
\]
\[
\mathbf{A}\cdot \mathbf{j}-\rho \phi =-A_{\mu}j_{\mu}
\]

4-2

入射光子
散乱光子のエネルギーをそれぞれ
$E_{\gamma },E_{\gamma }'$とする.
入射光子，
初期電子，
散乱光子，
散乱後の電子
のそれぞれの運動量を
$p_{\gamma }, p_e, p_{\gamma }', p_e'$
とおく.

任意の粒子の４元運動量ベクトルの長さの$2$乗はその粒子の質量の$2$乗に
等しいから光子の４元運動量は単位ベクトル$\mathbf{n}$を用いて
$\mbox{エネルギー}(1,\mathbf{n})$とかける.

\[
p_{\gamma }=E_{\gamma }(1, 1, 0, 0),
\]
\[
p_e=(m, 0),
\]
\[
p_{\gamma }'=E_{\gamma }'(1, \cos \theta , \sin \theta , 0),
\]
\[
p_e'=(E_e', \mathbf{p}_e'),
\]
とかける.
\[
p_{\gamma }+p_e=p_e'+p_{\gamma }'
\]
より
\[
p_e'^2=(p_{\gamma }+p_e-p_{\gamma }')^2.
\]
よって
\[
m^2=m^2+2p_{\gamma }p_e-2p_{\gamma }p{\gamma }'-2p_ep_{\gamma }'.
\]
よって
\[
E_{\gamma }m+E_{\gamma }E_{\gamma }'(1+\cos \theta )-mE_{\gamma }'=0.
\]
よって
\[
E_{\gamma }'=\frac{E_{\gamma }m}{m+E_{\gamma }(1+\cos \theta )}.
\]

4-3

最初の光子の４元運動量を$p^a$
最初の電子の４元運動量を$p^b$
最後の$3$つの電子の４元運動量を$p^c$
とおく.

\[
p^a+p^b=p^c.
\]
\[
(p^a_{\mu}+p^b_{\mu})=p^c_{\mu}p^c_{\mu}.
\]
より
\[
2p^a_{\mu}p^b_{\mu}+M^2=9M^2.
\]
よって
\[
p^a_{\mu}p^b_{\mu}=4M^2.
\]

静止座標系では
\[
p^b_{\mu}=(M, 0, 0, 0)
\]
\[
p^a_{\mu}=E(1, -1, 0, 0)
\]
とかけるが
\[
EM=p^a_{\mu}p^b_{\mu}=4M^2
\]
より
\[
E=4M.
\]


4-4

反応の前では４元運動量ベクトルの長さが$0$であり衝突後は$0$ではありえないから.
なぜ衝突後は$0$ではありえないかというと，

反応後の２つの電子の４元運動量を
$(E, \mathbf{p}),
(E', \mathbf{p}')$
とおいて
$(E, \mathbf{p})+
(E', \mathbf{p}')$の長さの２乗を計算すると
\[
2m^2+2EE'-2\mathbf{p}\cdot \mathbf{p}'
\]
となる．
これを$0$とおき$E^2-p^2=m^2, E'^2-p'^2=m^2$を用いて
$E, E'$を消去し変形すると
\[
(\mathbf{p}-\mathbf{p}')^2=0.
\]
再び$(E, \mathbf{p})+
(E', \mathbf{p}')$の長さの２乗が$0$であることから
$E+E'=0$.
これはありえない．


4-5

衝突前の質量$M$の粒子の４元運動量を$p^a$，
質量$m$の粒子の４元運動量を$p^b$，
衝突後の一緒になった粒子の４元運動量を$p^c$とする．

静止座標系では
\[
p^a=(E, \mathbf{p}), p_b=(m, 0)
\]
とかける．

\[
p^a+p^b=p^c.
\]
これの両辺の長さの二乗をとって
\[
M^2+2Em+m^2=M'^2.
\]
$M^2=E^2-P^2$より
\[
M'^2=M^2+2m\sqrt{M^2+P^2}+m^2=(m+\sqrt{M^2+P^2})^2-P^2.
\]
よって
\[
M'=\sqrt{(m+\sqrt{M^2+P^2})^2-P^2}.
\]


$p^a+p^b=p^c$より
\[
(E+m, \mathbf{P})=(E, \mathbf{P})+(m, 0)=\left( \frac{M'}{\sqrt{1-v^2}}, \frac{M'\mathbf{v}}{\sqrt{1-v^2}}\right)
\]
よって
\[
\mathbf{v}=\frac{\mathbf{P}}{m+E}=\frac{\mathbf{P}}{m+\sqrt{M^2+P^2}}.
\]