ファインマン物理学Ⅳ第５章 場のローレンツ変換（本文）

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第５章　場のローレンツ変換

5-1　動く電荷の４元ポテンシャル

第一に$A_{\mu }$は４元ポテンシャルである.
第二に静止した電荷によるクーロンポテンシャルは$\frac{q}{4\pi \epsilon _0}$である．
第三に任意の運動する電荷によって作られるポテンシャルは遅延時刻における速度と
位置だけに関係する．

これらのことからすべてが導かれる．
第二のことで静止した電荷のポテンシャルを求め
第一の方法で変換することによって一定速度で動く電荷のつくるポテンシャルを求めることができる．
第三のことによって任意の運動をするする電荷のつくるポテンシャルは射影位置の方法を用いて求められる．


5-2　一定速度の点電荷の場

一定速度の点電荷のポテンシャル$A_{\mu }$を用いて
$\mathbf{E}=-\nabla \phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$
を用いて電場と磁場を求めた．

まず静止した電荷の作る電場を紙に書き
それを動かしたときローレンツ変換によって紙にかかれた
電場は圧縮される．
運動する電荷の作る電場はその紙に書かれた電場と同じものになる．



5-3　場の相対論的変換

\[
F_{\mu \nu}=\bigtriangledown _{\mu }A_{\nu}-\bigtriangledown _{\nu }A_{\mu }
\]
で$F_{\mu \nu}$を定義すると
\[
F_{xy}=-B_z, F_{xt}=E_x,
\]
\[
F_{yz}=-B_x, F_{yt}=E_y,
\]
\[
F_{zx}=-B_y, F_{zt}=E_z,
\]
となる．

$F_{\mu \nu}$の変換規則を求めることによって
$\mathbf{B}, \mathbf{E}$の変換規則を求めた．

\[
E_{\parallel }'=E_{\parallel }, B_{\parallel }'=B_{\parallel },
\]
\[
E_{\perp }'=\frac{(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})_{\perp }}{\sqrt{1-v^2/c^2}},
B_{\perp }'=\frac{(\mathbf{B}-\frac{\mathbf{v}\times \mathbf{E}}{c^2})_{\perp }}{\sqrt{1-v^2/c^2}},
\]
となった．


5-4　相対論的記号による運動方程式

相対論的運動方程式は
\[
\frac{d}{dt}\left( \frac{m_0\mathbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) =\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\hspace{1cm}(5.24).
\]

４元力は
\[
f_{\mu }=\left( \frac{\mathbf{F}\cdot \frac{\mathbf{v}}{c}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \frac{\mathbf{F}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)
\]
で定義される．
(本文では$\mathbf{v}$の分母の$c$が抜けてた．しかしそれだと単位が合わない．)


\[
\frac{d}{ds}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\frac{d}{dt}
\]
は不変演算子である．
これを任意の４元ベクトルに演算すれば別の４元ベクトルが得られる．

ニュートンの運動方程式は
\[
\frac{dp_{\mu }}{ds}=f_{\mu }
\]
とかける．ここで
\[
p_{\mu }=m_0 \frac{dx_{\mu }}{ds}=m_0 u_{\mu}.
\]

(5.24)の右の式に$\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$をかけたもの
を書き直すと
\[
f_{\mu }=qu_{\nu}F_{\mu \nu}
\]
となる．