ファインマン物理学Ⅳ第１１章 密な物質の屈折率(問題)

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第１１章　密な物質の屈折率

11-1　

第Ⅲ巻(11. 9)式と
第Ⅳ巻(11. 25)式より.

11-2

プラズマ振動数が$6M$サイクルなので
\[
(6M/s)^2=\frac{N q_e^2}{\epsilon _0m}
\]
よって
\[
N=\frac{(6M/s)^2\epsilon _0m}{q_e^2}=1.13113 \times 10^{10}/m^3
\]

11-3（棚上げ問）

\[
\dot{v}_D=-\frac{1}{2\tau }v_D
\]
という微分方程式を導けばよい.

大まかに時間$\tau $の間に一個の電子の運動量が
$2mv_D=-F\tau $だけ変化するとして$m\dot{v}_D=F$に代入すると
$\dot{v}_D=-\frac{2}{\tau }v_D$となってしまう.


11-4

a)
(12. 9)より
\[
\frac{k}{\omega }E_x
\]

（答えでは$i\frac{k}{\omega }E_x$）

b)直角

c)
\[
\frac{|B|}{|E|}=\left| \frac{B}{E}\right| =\left| \frac{k}{\omega }\right| =\sqrt{2}\sqrt{\frac{\sigma }{2\epsilon _0c^2 \omega }}.
\]
（答えでは$\sqrt{2}\sqrt{\frac{\sigma }{2\epsilon _0 \omega }}$）


d)
磁場の形は
\[
e^{-\frac{\pi }{4}i}\times \mbox{実数}\times E_x
\]
なので
位相差は$\frac{\pi }{4}$.

11-5

式(11. 42)より
\begin{eqnarray*}
n^2&=&
1+\frac{\sigma /\epsilon _0}{i\omega (1+i\omega \tau )}\\
&=&1-\frac{\frac{\sigma }{\epsilon _0}(\omega ^2 \tau +i\omega )}{(\omega ^2\tau )^2+\omega ^2}\\
&=&
1-\frac{\tau \sigma /\epsilon _0}{\omega ^2\tau ^2+1}- \frac{\sigma /\epsilon _0}{\omega (1+\omega ^2\tau ^2)}i
\end{eqnarray*}
これの実部と虚部をそれぞれ
$a, b$とおく.つまり
\[
a=1-\frac{\tau \sigma /\epsilon _0}{\omega ^2\tau ^2+1}
\]
\[
b=- \frac{\sigma /\epsilon _0}{\omega (1+\omega ^2\tau ^2)}
\]
とおく.

\[
n=n'+n''i
\]
とおくと
\[
n^2=n'^2-n''^2+2n'n''i
\]
実部と虚部を比較して
\[
n'^2-n''^2=a,
\]
\[
2n'n''=b.
\]
上の第二式より$n''=\frac{b}{2b}$.
これを上の第一式に代入して
\[
n''^4+an''-\frac{b^2}{4}.
\]
\begin{eqnarray*}
n''^2&=&
\frac{-a\pm \sqrt{a^2+b^2}}{2}\\
&=&
\frac{1}{2}a(-1\pm \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}})\\
&=&
\frac{1}{2}\left( 1-\frac{\tau \sigma /\epsilon _0}{\omega ^2\tau ^2+1}\right) \left( -1\pm \sqrt{1+\frac{\left( \frac{\sigma /\epsilon _0}{\omega (1+\omega ^2\tau ^2)}\right) ^2}{\left( 1-\frac{\tau \sigma /\epsilon _0}{\omega ^2\tau ^2+1}\right)^2}}\right)
\end{eqnarray*}
同様に
\[
n'^2=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{\tau \sigma /\epsilon _0}{\omega ^2\tau ^2+1}\right) \left( 1\pm \sqrt{1+\frac{\left( \frac{\sigma /\epsilon _0}{\omega (1+\omega ^2\tau ^2)}\right) ^2}{\left( 1-\frac{\tau \sigma /\epsilon _0}{\omega ^2\tau ^2+1}\right)^2}}\right)
\]

表皮厚さは
\[
\delta =\frac{c}{\omega n''}.
\]